KKHAAEERUUL.M

TURUNAN

ini bentuk limit alternatif dari turunan yang berguna untuk menyelidiki hubungan antara turunan dan kekontinuan. Turunan f di c adalah

apabila limitnya ada. Perhatikan gambar berikut.

Yang perlu diperhatikan adalah bahwa nilai limit pada bentuk alternatif ini dikatakan ada apabila

ada dan sama. Limit seperti ini secara berturut-turut disebut turunan dari kiri dan dari kanan. Dari uraian tersebut kita dapat mengatakan bahwa f memiliki turunan pada selang tutup [a, b] jika f memiliki turunan pada (a, b) dan jika turunan dari kanan a dan turunan dari kiri b, kedua-duanya ada.
Jika suatu fungsi tidak kontinu pada x = c, maka fungsi tersebut juga tidak akan memiliki turunan di x = c. Sebagai contoh, fungsi bilangan bulat terbesar

tidak kontinu di x = 0, yang menyebabkan tidak akan memiliki turunan di x = 0. Perhatikan gambar di bawah.

Kita dapat membuktikan bahwa f tersebut tidak memiliki turunan di x = 0, sebagai berikut.

dan

Walaupun benar bahwa turunan mengakibatkan kekontinuan, akan tetapi konvers dari pernyataan ini belum tentu benar. Dengan kata lain, ada kemungkinan suatu fungsi kontinu di x = c, tetapi tidak memiliki turunan di x = c. Contoh 1 dan 2 berikut mengilustrasikan kemungkinan tersebut.
Contoh 1: Grafik dengan Belokan Tajam
Fungsi f(x) = |x – 1| seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, merupakan fungsi yang kontinu di x = 1. Akan tetapi,

dan

tidak sama. Sehingga f tidak memiliki turunan di x = 1 dan grafiknya tidak memiliki garis singgung di titik (1, 0).

Contoh 2: Grafik dengan Garis Singgung Vertikal
Fungsi f(x) = x^1/3 kontinu pada x = 0, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Akan tetapi karena limit

tak terhingga, kita dapat menyimpulkan bahwa garis singgungnya vertikal ketika x = 0. Sehingga, f tidak memiliki turunan pada x = 0.
Dari contoh 1 dan 2, kita dapat melihat bahwa suatu fungsi tidak memiliki turunan pada suatu titik ketika grafiknya belok tajam dan garis singgungnya vertikal.

Teorema: Turunan Menyebabkan Kekontinuan
Jika f memiliki turunan pada x = c, maka f kontinu pada x = c.

Bukti: Kita dapat membuktikan bahwa f kontinu pada x = c dengan menunjukkan bahwa f(x) mendekati f(c) ketika x → c. Untuk menunjukkan ini, kita gunakan turunan pada x = c dan menentukan limit berikut.

Karena selisih f(x) – f(c) mendekati 0 ketika x → 0, kita dapat menyimpulkan bahwa limit f(x) dengan x → c sama dengan f(c). Sehingga, f kontinu pada x = c.